“无穷”概念在小学中的运用

    龚善娥

    小学数学教材中蕴含着丰富的“无穷”概念：从“数不完的自然数”到“除不尽的循环小数”，从“能向两端无穷延伸的直线”到“分不完的蛋糕”，这些内容都是渗透“无穷”概念的最佳素材。

    小学阶段渗透“无穷”概念的核心目标，不是让学生掌握“无穷”的严格定义，而是通过具体实例让学生初步感受“无穷”的存在，培养“从有限中感知无穷”的思维意识，为中学阶段学习“极限”“无穷级数”等概念埋下伏笔，同时提升学生的数学抽象能力与探究兴趣。

    一、感知“数的无穷性”

    数是小学数学的基础内容，从10以内数的认识到分数、小数的学习，每一个数系的拓展都隐含着“无穷”概念的渗透，核心体现在“数的数量无穷”与“数的细分无穷”两个层面。

    （一）自然数：“数不完”的无穷延伸

    一年级上册“10以内数的认识”是学生首次接触数的无穷性。教材通常设计“数小棒”“数图形”等活动，当学生数到10后，教师会引导：“比10大的数有哪些？”“11、12、13……能数完吗？”学生通过“接着数”的操作发现：无论数到多大的数，总能在其后面加一 （如“10000后面还有10001”），从而初步感知“自然数没有最大的，能无穷延伸”。

    到了三年级“万以内数的认识”，教材通过“计数器拨数”活动强化这一感知：当计数器的千位拨满10个珠子时，要向万位进1……教师可追问：“十万位满10后呢？”“这样没完没了”，学生通过计数器的“进位规则”，进一步理解自然数的无穷性不是“随意想象”，而是有“计数规则支撑”的无穷延伸，从“直观感知”向“初步逻辑认知”过渡。

    （二） 分数与小数：“分不尽”的无穷细分

    分数与小数的学习，让学生从“数的延伸”转向“数的细分”，感知“有限物体可无穷细分”的“无穷”概念。

    在三年级“分数的初步认识”中，人教版教材设计了“分纸条”活动：将一张长方形纸条对折1次，得到2份，每份是1/2；对折2次，得到4份，每份是1/4；对折3次，得到8份，每份是1/8……“能一直对折下去吗？”学生通过实际操作发现：虽然现实中纸条会因厚度限制无法无穷对折，但“数学上可以一直分下去，分的份数越多，每份就越小，却永远不会消失”，初步感知分数的无穷细分性。

    到了五年级“小数的意义和性质”“无穷”概念的渗透更具体。教材在介绍“无穷循环小数”时，通过“1÷3”的计算实例：学生列竖式计算时发现，余数始终是1，商的小数部分始终是3，“永远除不完”，从而理解“0.333……”的“无穷”含义——小数部分有无数个3，没有尽头。此外，教材还通过“0.1=0.10=0.100=……”让学生感知“小数的位数可以无穷延伸，但数值不变”，进一步丰富对“无穷”的认知。

    二、几何图形：感受“无穷延伸与细分”

    几何图形是小学数学的另一核心内容，直线、射线、圆等图形的特征中蕴含着丰富的“无穷”概念，主要体现在“图形的无穷延伸”与“图形的无穷细分”两个维度，且多通过“直观类比”与“操作想象”实现渗透。

    （一） 直线与射线：“没有尽头”的无穷延伸

    四年级几何知识可以帮助学生感知无穷：

    线段有两个端点，长度有限，学生可通过直尺测量其长度；

    射线有一个端点，另一端“能无穷延伸”，教材用“手电筒射出的光”类比：“手电筒的光从灯泡出发，能一直照向远方，没有尽头”，学生通过生活经验理解射线的无穷性；

    直线没有端点，“能向两端无穷延伸”，教材用“铁轨”类比：“铁轨向两边一直延伸，看不到尽头”，同时引导学生想象：“如果铁轨一直延伸下去，会到哪里？”学生获得了无穷延伸的知识概念。

    此外，教材在“角的大小”教学中进一步强化“无穷”概念：“角的大小与两边的长短无关，只与两边张开的大小有关”，教师可追问：“如果把角的两边无穷延长，角的大小会变吗？”学生通过“延长纸条拼角”的操作发现：即使将角的两边剪得更长 （或想象无穷延长），角的张开程度不变，大小也不变，从而理解“无穷延伸不改变图形本质特征”，深化对无穷的认知。

    （二） 圆的面积：“越分越像”的无穷逼近

    六年级“圆的面积”推导过程，是小学阶段最接近“极限思想”的“无穷”概念渗透，核心是通过“无穷细分”实现“有限与无穷的转化”。

    在实际教学中，教师一般会借助动画来直观展示整个割补拼接的过程，并引导学生仔细观察，同时提出问题：“随着圆被划分的份数不断增多，拼接出来的图形会发生怎样的变化呢？”学生通过对不同份数拼接后的图形进行对比分析，会得出这样的结论：划分的份数越多，每个小扇形的弧就越贴近直线形态，由此拼接而成的图形也会与长方形更加接近；而当圆被划分的份数达到“无穷多”的程度时，最终拼接出来的图形就会完全“转化”为一个标准的长方形。

    虽然教师不会提及“极限”概念，但学生能直观感受到“无穷细分带来的逼近效果”——从“近似”到“精确”的转化依赖于“无穷”，这为中学阶段学习“圆的面积严格证明”和“极限概念”奠定了直观基础。

    三、数学计算：体会“无穷循环与累加”

    小学数学计算中，“无穷”概念主要体现在“除法中的无穷循环”与“加法中的无穷累加”，前者是教材明确呈现的内容，后者则多通过拓展活动渗透，旨在让学生从“计算过程”中感知无穷。

    （一） 小数除法：“永远除不尽”的无穷循环

    五年级“小数除法”单元中，“无穷循环小数”是教材明确渗透“无穷”概念的内容。除了前文提到的“1÷3=0.333……”教材还设计了“1÷7=0.142857142857……”等例题，让学生通过竖式计算发现：

    余数会重复出现，导致商的小数部分也重复出现；

    无论计算多久，商的小数部分都会按照“循环节”无穷重复，永远除不完。

    教师可组织学生“比一比谁算得久？”“大家继续算1÷7，看看能不能算出尽头？”学生计算几分钟后发现“永远算不完”，自然理解“无穷循环小数”的“无穷”含义——不是“没算完”，而是“根本算不完”，从而从“计算体验”上升到“无穷认知”。

    （二） 分数加法：“越加越近”的无穷累加

    小学阶段对“无穷累加”的渗透多为拓展性活动，不要求掌握计算方法，仅需感知“无穷累加可趋近有限值”。例如，教师可设计“涂色正方形”活动：

    出示一个边长为1的正方形，第一次涂满它的1/2；

    第二次在剩余部分涂满1/4（即正方形的1/4）；

    第三次在剩余部分涂满1/8（即正方形的1/8）；

    学生通过直观观察发现：虽然每次只涂“剩余部分的一半”，但涂的次数越多，涂满的面积越接近1（整个正方形）；当涂的次数“无穷多”时，涂满的面积就“接近1”。这一活动让学生初步感知“无穷个小数相加，结果可能是有限的”，为中学阶段学习“无穷等比数列求和”埋下伏笔。

    （作者单位:思南县思源实验小学）